浮点数定义

  • 十进制小数的表示：$d_{m}d_{m-1}…d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}…d_{-n}$。其值为：$\sum_{i=-n}^{m}d_{i}2^{i}$。表示有$m+1$位整数$n$位小数。

  • 二进制小数表示：$b_{m}b_{m-1}…b_{1}b_{0}.b_{-1}b_{-2}…b_{-n}$。转换为十进制值为$\sum_{i=-n}^(m)b_{i}2^{i}$。同样表示有$m+1$位整数部分$n$位小数部分

  • 这种表示方式是浮点数的定点表示。缺点是不能表示非常大的数字。例如表示$5*2^{100}$，就需要101.之后有100个0的位模式才行。

  • 基于这种缺点，IEEE浮点标准用 $$V=(-1)^s * M * 2^E$$的形式表示一个数。只需要对$s,M$和$E$使用一定长度的位进行编码就可以表示一个较大的数。

  • C语言对于单精度的浮点数的表示$s$为1位，$E$为8位，$M$为23位。

  • 符号位$s$编码为1表示负数编码为0表示非负数。

  • 阶码$E$可以取正或负，那么阶码编码有两种选择，一是和整数一样使用补码，另一种是先使用无符号编码然后将其映射到一个包含负数的集合，即减掉一个偏置量。

  • 根据IEEE浮点标准$$V=(-1)^s * M * 2^E$$，可以通过调整阶码$E$的范围，将尾数$M$表示为$1.b_{-1}b_{-2}…b_{-n}$或$0.b_{-1}b_{-2}…b_{0}$，编码为$1.f_{n-1}f_{n-2}…f_{0}$或者$0.f_{n-1}f_{n-2}…f_{0}$，这样的编码方式可以增加一位精度，因为最高位的1或者0不用编码。

  • 这是浮点数的一些具体参考： 浮点数的详细信息

问题

  • 在浮点数定义中为什么要对阶码编码使用偏置，而不是直接使用补码？还有阶码偏置的选取有什么意义？

    • 假设阶码编码使用补码方式：
      • 对于单精度的浮点数，阶码编码使用8位二进制表示，数值范围是$-128$$127$。其中0x00~0x7F表示正数，对于阶码的编码则表示$2^0$$2^{127}$，而对于0xF0~0xFF表示负数，对于阶码的编码则表示$2^{-128}$~$2^{-1}$。这样看起来好像也没有什么问题。
      • 浮点数运算步骤：0操作数检查，比较阶码大小并对阶，尾数进行加减运算，结果规格化并进行舍入处理。
      • 可以看出浮点数运算有关键的一步是比较阶码大小并对阶。如果采用补码编码，这就要使用补码比较大小的方式：先比较符号位（正数大于负数），其次比较符号位外的其他位（除符号位以外从最高位向最低位比较先出现1的数值大）。
      • 但是采用偏置的方式可以取消调符号位的比较，直接进行其他位的比较。
      • 同时还有一个问题，是对浮点数1.0和0.0的编码。如果尾数默认拥有前缀1的话，那么0.0无法表示（因为全0编码表示1.0），同时如果尾数拥有前缀0，1.0就无法表示（因为全0编码表示0.0）。
      • 如果你说补码表示的阶码位全0表示非规格化数，全1表示其他数，而剩下的位模式表示规格化数，因为非规格化数的阶码部分只能表示$2^0=1$，数的范围完全由尾数决定，这样表示的小数范围会比使用偏置小，同时非规格化数有时会比规格化数大（阶码的编码为0x01~0x7F），有时会比规格化数小（0xF0~0xFE），很凌乱。同样的，对于规格化数，阶码编码为0x01~0x7F，数值范围为$2^0$$2^{127}$表示比1大的数，编码为0xF0~0xFE，数值范围为$2^{-128}$$2^{-2}$，表示绝对值比1小的数，同时这样在执行阶码对阶加减的时候需要使用补码加减法（先将位模式转换为无符号数，执行无符号数加减，如果溢出则截断，然后再转为补码）。
    • 总而言之，如果使用补码进行编码，则会导致浮点数数值大小和位模式很混乱，阅读性差，同时对阶码作运算也没有偏置（无符号数）方便。
    • 接下来，分析使用对无符号数进行偏移来编码阶码：
      • 如下图所示： 可以看出8位的阶码位的无符号数范围$0$~$255$，其中全0和全1分别表示非规格化和其他数字，其他位模式则表示规格化数。同时对于全0尾数默认前缀为0，对于规格化数尾数前缀默认为1，这样的设置会增加1位精度。
      • 对于规格化数的阶码位的无符号数范围$1$~$254$，刚好254个数。而由于阶码可正可负，IEEE采用的是正数1~127和非正数-126~0各占127，而非补码编码的负数和非负数。如果负数占位更多的话，会使浮点数表示的值更接近0（假如负数和非负数各占127，在尾数编码全0（数值为1.0）的时候，阶码取最小值，浮点数为$1.0 * 2^{-127}$ 和 $1.0 * 2^{-126}$进行比较），这样明显没有比正数大多有意义，阶码正数大则阶码表示的最大值就会较大为$2^{127}$（和$2^{126}$比较），从而浮点数的范围就更大一些。
      • 现在的问题是如何将规格化数的阶码为的无符号数$1$$254$映射到$-126$$127$。很明显给$1$~$254$减掉一个偏置Bias，和明显该偏置为Bias=127，这个偏置值刚好是$2^{k-1}-1$，k为阶码位数。这其中有什么关联吗？
      • 首先k位无符号数编码的个数是$2^k$，数值范围是$0$$2^k-1$，需要去掉全0和全1，那么用于规格化数的个数就是$2^{k}-2$，数值范围是$1$$2^k-2$，然后一半用来表示正数，所以就需要取数值范围最大的数的一半作为偏移即$\frac {2^k-2} {2}$，正数的个数就是$\frac {2^{k}-2} {2}$，那么这个偏移量就等于正数的个数。这样就解释了偏移量的原因。
      • 同时由于是对无符号数使用偏移表示阶码的原因，所以阶码的运算都是采用无符号的运算方式，相对于补码来说，去掉了比较符号位的操作。

  • 非规格化（阶码位全0）为什么要采用1-Bias作为阶码数值，同时尾数前缀不再为1而是0？

    • 首先总体而言，这是为了浮点表示数值从小到大的平滑过渡。
    • 对于单精度浮点数来说，尾数为23位，非规格化尾数编码最大是全1：如果尾数前缀为0，则其数值为$1-2^{-23}$；如果尾数前缀为1，则其数值为$1+1-2^{-23}$。而对于规格化数来说，前缀为1，尾数最小编码是全0，其数值为1。所以在阶码相同的前提下，如果非规格化尾数前缀为1，采用尾数最大编码全1，会比规格化数尾数前缀为1最小编码全0的数值大，这明显是不合理的，而非规格化数尾数前缀采用0的话，最大编码数值刚好比规格化最小编码数值小$2^{-23}$。当然这一切的前提是阶码相同，才会有这种过渡。
    • 对于单精度浮点数来说，非规格化数采用1-Bias作为阶码，阶码数值是$2^{-126}$，这样尾数编码采用最大全1的情况下，浮点数值为$(1-2^{-23}) * 2^{-126}$如果使用-Bias作为阶码，则阶码数值是$2^{-127}$，这样尾数编码同样采用最大全1，浮点数值为$(1-2^{-23}) * 2^{-127}$。而最小的规格化数是$1.0 * 2^{-126}$，很明显，采用-Bias数据不会平滑过渡。

  • 下面是$k=4$的阶码位和$n=3$的小数位的非负数表示，偏移量位7。