浮点数

浮点数表示对形如$V=x*2^y$的有理数进行编码

二进制小数

• 十进制小数表示法使用如下形式的表示： $$d_md_{m-1}…d_1d_0.d_{-1}d_{-2}…d_{-n}$$

• 其中每个十进制数$d_i$的取值范围是$0\sim9$。这个表达式描述的数值$d$定义如下： $$d=\sum_{i=-n}^{m}10^i*d_i$$

• 数字权的定义与十进制小数点符号“.”相关，这意味着小数点左边的数字的权是10的正幂，得到整数值，而小数点右边的数字的权是10的负幂，得到小数值。

• 二进制小数的表示形如 $$b_mb_{m-1}…b_1b_0.b_{-1}b_{-2}…b_{n-1}b_{-n}$$

• 其中每个二进制数字，$b_i$的取值范围为0和1。

• 这种表示方法表示的数$b$定义如下： $$b=\sum_{i=-n}^{m}2^i*b_i$$

• 符号“.”现在是二进制的小数点，点左侧的位的权是2的正幂，点右侧的位的权是2的负幂。

• 二进制表示法只能准确表示那些能够被写成$x*2^y$的数，其他的值只能够近似地表示。

• 以上统称为定点表示法，不能很有效地表示非常大地数字。例如，表达式$5*2^{100}$是101后面跟随100个零的位模式来表示。

IEEE浮点表示

• 通过给定$x$和$y$的值，来表示形如$x*2^y$的数。

• IEEE浮点标准用$V=(-1)^sM2^E$的形式来表示一个数：

  • 符号$s$决定这数是负数（$s=1$）还是整数（$s=0$），而对于数值0的符号位解释作为特殊情况处理。
  • 尾数$M$是一个二进制小数吗，它的范围是$1\sim2-\epsilon$或者是$0\sim1-\epsilon$。
  • 阶码$E$的作用是对浮点数加权，这个权重是2的$E$次幂。
  • 一个单独的符号位$s$直接编码符号$s$。
  • $k$位的阶码字段$exp=e_{k-1}…e_1e_0$编码阶码$E$。
  • $n$位小数字段$frac=f_{n-1}…f_1f_0$编码尾数$M$，但是编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否等于$0$。

• 在单精度浮点格式（float）中，$s$、$exp$、$frac$字段分别为$1$、$k=8$位、$n=23$位，得到一个32位的表示。

• 在双精度浮点格式（double）中，$s$、$exp$、$frac$字段分别为$1$、$k=11$位、$n=52$位，得到一个64位的表示。

• 给定位表示，根据$exp$的值，被编码的值可以分为三种不同的情况。

• 规格化的值

  • 当$exp$的位模式既不全为0，也不全为1（单精度为255，双精度为2047），都属于这种情况。在这种情况下，阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号整数。也就是说，阶码的值是$E=e-Bias$，其中$e$是无符号数，其位表示为$e_{k-1}…e_1e_0$，而$Bias$是一个等于$2^{k-1}-1$（单精度为127，双精度为1023）的偏置。由此产生指数的取值范围，对于单精度是$-126\sim+127$，对于双精度是$-1022\sim+1023$。
  • 小数字段$frac$被解释为描述小数值$f$，其中$0\leq f<1$，其二进制表示为$0.f_{n-1}…f_1f_0$，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。尾数定义为$M=1+f$，这种方式也叫做隐含的以1开头的表示，因此我们可以把$M$看成一个二进制表达式为$1.f_{n-1}f_{n-2}…f_0$的数字。

• 非规格化的值

  • 当阶码域为全0时，所表示的数是非规格化形式。在这种情况下，阶码值是$E=1-Bias$，而尾数的值是$M=f$，也就是小数字段的值，不包含隐含的开头的1。
  • 使阶码值为$1-Bias$而不是$-Bias$，这会使非规格化值平滑转换到规格化值。
  • 非规格化值有两个用途。1、提供了一种表示数值0的方法，因为使用规格化数，我们必须总是使$M\geq 1$，因此不能表示0。实际上，$+0.0$的浮点表示的位模式为全0。2、表示那些非常接近于$0.0$的数。

• 特殊值

  • 当阶码全为1时，即为特殊值。当小数域为全0时，得到的值表示无穷，当$s=0$时是$+\infty$，当$s=1$时是$-\infty$。当小数域为非零时，结果值被称为“NaN”。

• 8位浮点数非负值表示示例：

舍入

浮点数计算

• 对阶
  • 小阶向大阶对齐，尾数右移。
• 尾数运算
• 结果规格化
• 舍入处理